Группирование учащихся на основе двумерной плотности распределения информационных элементов 1-го и 2-го рода. часть 2

При наличии нескольких  групп  учащихся с различающимися  характеристиками  научения, каждая из них отмечается на графике теоретической функции плотности распределения своей точкой максимума, т.е. экстремальные точки являются индикаторами крупных (выделяемых) групп учащихся, а координаты точек экстремума на горизонтальной плоскости - ожидаемые значения уровней знания информационных элементов.
График функции плотности распределения для 7-9 классов, изучающих элементарную геометрию на плоскости (планиметрию) имеет несколько экстремальных точек. Из них можно с высокой степенью достоверности выделить 3 точки и, соответственно, три группы  учащихся. Наиболее массовой из них является группа А с координатами х_а = 40% -  уровень знания понятийного аппарата и  у_а = 30% — оценка знания геометрических  утверждений. Вторая по численности группа учащихся В имеет следующие значения: х_в = 50% и у_в = 40% и, наконец, третья группа С – х_с = 65% и  у_с = 70%. Наличие других групп учащихся вполне вероятно, на мы не будем их рассмат­ривать в виду относительной немногочисленности. Каждая из выделен­ных групп учащихся отмечена на рис.13 пологим "холмом", простирание которого параллельно координатной оси х, т.е. значения дисперсий, вычисленные для одной группы удовлетворяют неравенству, где D[х] и D[y] - дисперсии уровней знания геометрических понятий и утверждений, соответственно. Следовательно, внутригрупповые отли­чия в понимании  учащимися геометрических утверждений существенно меньше, чем понятий и терминов планиметрии. Зато можно также увидеть из эквивалентных значений дисперсий в таблице 4 (см. 3.1.3) и в таблице 7 (см. 3.1.7), с поправкой на 12-ти балльную шкалу оценивания уровня знаний (D[х] = 5.38; D[y] = 4.22).
Большая вариация знания информационных элементов 1-го рода является следствием того, что учащиеся не испытывают особых затруднений при восприятии геометрических объектов и визуальное подкрепление  формальных определений помогает  сознательному усвоению понятий, терминов. Здесь, главным образом, сказываются различия в психологии, в характерах  учащихся, их личном отношении к предмету и учителю, трудолюбие и усердие в любой работе. С другой стороны, в рамках  одной выбранной группы учащихся, вариация по знанию информационных элементов 2-го рода незначительна. Это вытекает из того, что основное содержание теоретического материала по геометрии составляет последовательность аксиом и теорем, восприятие и усвоение, которого вызывает  большие  трудности у школьников, что непосредственно отражается как на низких значениях уровней знания, так и на относительно небольшой вариативности этих значений  одной  группы учащимся.
Анализируя форму графика плотности распределения учащимся, можно заметить, что для курса планиметрии группа В является промежуточной, связывающей группу А "посредственного знания" и группу С - "хорошего знания". Причем, переход от низкой к более высокой ступени знания происходит в результате  резкого  повышения  качества знаний  информационных  элементов 2-го рода и, в гораздо  меньшей мере, связан со знанием понятийного аппарата. Кроме того, группа С отделена от основной массы учащихся, образуя собственную локальную зону. Это, очевидно, свидетельствует о том, что переход на качественно более высокую ступень знания происходит не постепенно, путем накапливании объема  теоретической  информации, а резко, скачком.
При этом, главным образом, изменяется уровень знания геометрических утверждений в теории геометрии, который можно считать решающим  признаком принадлежности учащегося к той или иной группе. Этот факт еще раз доказывает необходимость уделить особое внимание изучению учащимися аксиоматической теории геометрии, методов доказательства теорем, на осознанное применение усвоенных знаний в практике решения задач и упражнений.
Основное отличие графика двумерной  функции плотности вероятнос­ти  распределения учащихся по результатам решения контрольных заданий по стереометрии от рассмотренного выше графика по плани­метрии состоит в   отсутствии промежуточной группы В. В старших: классах школы  происходит выравнивание интеллектуального потенциала учащихся за счет  применения стандартной методики преподавания и частичного отсева  слабоуспевающих учеников. Локальные зоны групп учащихся приобретают  более отчетливую форму с высокими зна­чениями в двух экстремальных точках:  группа А(x,у), где х_а = 45%, у_а = 40% ; группа С(х,у), где х_с= 35%, у_с = 65%
Заметим, что сближение локальных зон двух выделенных групп учащихся связано, с одной стороны, повышением уровня знания слабоуспевающих учеников и, с другой стороны, частичным понижением уровня знания учащихся группы С. Этим и объясняется исчезновение на графике функции плотности вероятности распределения учащихся старших классов группы В.
Поставленная здесь проблема индивидуализации процесса обучения требует отдельного крупного педагогического  исследования для каж­дого существующего или проектируемого учебного предмета в школе. В настоящем исследовании процессов формирования геометрических представлений у школьников нет возможности  полного  исследования данной проблемы и предпринята только попытка обозначить некоторые направления и методы ее решений.
Мы ограничились построением графика функции плотности распределения и его визуальным анализом, без дальнейшего применения понятий условной вероятности и теоремы Вайеса, с помощью которых можно построить статистическую процедуру разделения учащихся по группам  успеваемости с выработкой решающего правила и оценкой доверительного уровня [22].
Опыт статистического анализа в применении к задаче группирова­ния учащихся на основе данных о результатах выполнения ими контрольных заданий по геометрии поможет в дальнейшем провести пол­номасштабные педагогические эксперименты по распознаванию и классификации субъектов обучения.