Методика оценивания результатов контрольной работы

Обычно в качестве количественной меры, характеризующей решение учащимися данного задания,  принимается относительная доля верных ответов:
где m = m₀ + m₁; m₀ и m₁ - число учащихся, получивших за решение данного задания баллы 0 и 1, соответственно (0 - неверный ответ,  1 - верный ответ). Величина   р*  является несмещенной и эффективной оценкой вероятности р - вероятность правильного  решения при однократном предъявлении задания.
Статистика m₁имеет биноминальное распределение  Bin(m,p)  и отсюда доверительный  ин­тервал для величины   р*  можно получить из неравенства:
|р*- р| < t_b р(1 - р)/m, где  t_b = arg Ф*((1 + b)/2), b - доверительная вероятность; Ф*(х)=1/(2П)^0,8ехр(-0.5t²)dt - функция нормального распределения [16].
Нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала можно вычислить по формуле [17]: Р_1,2 = {р² + t²_b/2m  t_b[р*(1 - р*)/m + t_b/ 4m²]^1/2}/{1 + t_b/m}.
Методика проведения контрольного опроса не предполагает от  каж­дого  учащегося ответов по всей программе (каждый  ученик  решал в среднем около 20-30 заданий из 328 по планиметрии или из 265  по стереометрии). И поэтому для   конкретного задания  случайно образу­ются  группы  учащихся  отвечавших на него с различными  уровнями подготовленности и различные по числу  учащихся. В  таком  случае, оценка условной вероятности правильных ответов для каждого зада­ния не будет полностью отражать знание этих заданий.
Т.е. случайным   образом  сложившаяся  группа  учащихся  решавших один из   вариантов контрольной  работы  может по своему  составу и, соответственно, по успеваемости отличаться от аналогичной  группы, решавших другой  вариант.
Учитывая выше сказанное, объединим всех учащихся в четыре  груп­пы успеваемости, используя стандартную 4-х балльную шкалу.
И теперь, для устранения случайного влияния   межгрупповых  разли­чий учащихся используется формула полной вероятности [57]: р = p_iq_i , где q₁ = 1  и  i = 1, 2, 3,4 .
Здесь q_i - доля учащихся i-ой группы успеваемости от общего числа решавших конкретное задание и p_i- соответствующие условные вероятности правильного решения данного задания i-ой  группы уча­щихся.
Значения вероятностей q_i, р_i аппроксимируются соответствующи­ми относительными частотными величинами. Для выявления и оценки влияния фактора межгрупповой случайной вариации уровня подготов­ленности учащихся, решавших различные контрольные работы, несколь­ко заданий использовались двукратно, в разных вариантах. Отклоне­ния полученных результатов не превышают 7%.
Описанная  процедура  оценки вероятности правильного решения   конт­рольных заданий позволяет устранить погрешности случайных отклонений уровней успеваемости, не прибегая   к ограничению числа заданий.