Структура геометрических знаний

В проблеме формирования у учащихся совокупности геометрических представлений в настоящем исследовании особое внимание уделяется вопросу структурной организации усваиваемой информации. Изложение теоретического материала в учебнике А.В. Погорелова построено на дедуктивном принципе, при котором изучение геометрических фигур и их свойств происходит не на основе привлечения дополнительной информации, а путем воспроизведения, самоорганизации ранее полу­ченных знаний. Таким образом, учебник геометрии Погорелова А.В. предполагает структурную организацию своей информации.
В педагогических исследованиях  традиционно  используется  поня­тие  смыслового элемента учебного материала. Нурминский И.И., Гладышева Н.К. в работе [73] применяют  данное понятие при расчете частотных  характеристик курса физики с последующим выявлением количественных закономерностей формирования знаний  учащихся. При этом смысловой элемент понимается как единица учебного материала, характеризующаяся  определенным  уровнем  знания и рядом числовых параметров, связанных с методикой преподавания данного элемента.
Именно такая интерпретация смыслового элемента используется при описании системы геометрических  знаний в настоящем  исследовании процесса обучения и называется информационным  элементом. Отметим, что термин "элемент", в нашем исследовании применяется как неразложимый далее, как  единица анализа  сложных явлений, процессов.
Соответствующая же система  информационных элементов курса геомет­рии есть упорядоченное множество взаимосвязанных элементов, обладающих структурой и организацией.
Мы выделяем три группы (рода) информационных элементов:

• геометрические фигуры, тела, понятия, связанные с взаимным расположением, сравнением или измерением геометрических объектов  образуют  группу  информационных  элементов  1-го  рода (сокращенно и.э.1р.)  или просто группу   геометрических понятий;
• система аксиом, теоремы, утверждения, различные свойства геометрических фигур, формулы для измерения  числовых  параметров и т.д. объединены в группу информационных элементов 2-го рода (сокращенно и.э.2р.) или просто группу   геометрических утверждений.
• навыки и умения, образующиеся при изучении теоретического  материала, при решении задач, методы  формальной логики, усваиваемые учащимися при доказательстве  теорем, применяемые при   оценке справедливости  утверждений образуют группу  информационных элементов 3-го рода (сокращенно и.э.3р.) или просто группу логических операций.

Полный перечень выделенных для анализа курса геометрии информационных элементов приведен в Приложении 1, 2.
Взаимосвязи, образующиеся между различными информационными элементами в ходе усвоения теоретического материала учебного курса, можно условно подразделить на внутригрупповые и межгрупповые.
Так, например, внутригрупповые взаимосвязи возникают при определении геометрического понятия с помощью одного или нескольких других понятий, удовлетворяющих заданным условиям: "Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников,  совмещенных параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников."  Здесь при определении призмы используются понятия  многогранник, плоский  многоугольник, параллельный   перенос и отрезок.
Далее внутригрупповые взаимосвязи образуются между информационными элементами 2-го рада при  доказательстве данного утверждения с применением уже известных  формулировок других утверждений. Так, в доказательстве теоремы 4.2 [80] о параллельности прямых при условии  равенства  образующихся внутренних накрест лежащих углов используются признак  равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними  и  свойство смежных углов. Межгрупповые взаимосвязи между элементами 1-го и 2-го рода образуются в формулировках  утверждений, свойствах  фигур  и т. д. Приведенная выше в  качестве примера теорема связывает понятия внутренних накрест лежащих углов, внутренних односторонних  углов  с понятием параллельные прямые.